Integral de secx - a função circular de um ângulo

• sec x = 1cos x
• cossec x 1sin x
• cot x = 1tan x = cos x sen x

O Secant também pode ser obtido do número complexo: secx = 2 / [e ^ (ix) + e ^ (- ix)], onde i é a unidade imaginária que é igual a sqrt (-1). Em contraste com cos (x), encontrar a antiderivada de secante de x precisa de alguns truques de cálculo. Além disso, a antiderivada do secx tem muitas formas idênticas que podem confundir os alunos que querem ver como são bons na computação. Abaixo estão algumas formas funcionais mais usadas:

• ∫ sec (x) dx = ln [seg (x) + tan (x)] = ln [1 + sen (x)] - ln [cos (x)] = -ln [secante de x - tan ( x)] = ln [cos (x)] - ln [1 - sen (x)] = 0,5 * ln [1 + sen (x)] - 0,5 * ln [1 - sen (x)] = ln [cos ( x2) + sin (x2)] - ln [cos (x2) - sen (x2)]

Você também pode verificar se isso é semelhante via identidades trigonométricas e propriedades de logaritmos. Abaixo estão descritos os 2 métodos usados para obter a antiderivada de secante de x:

• Método 1 : este método é de longe a maneira padrão de verificar o secx como você encontrará na maioria dos livros de cálculo. Ele usa um truque de multiplicação intuitiva que muda a função em algo que facilmente leva à substituição. Para começar, multiplique a função sec (x) pela fração de unidade da seguinte maneira:

• 1 = [(secante de x + tan (x) s (x) + tan (x))], isso dá uma nova integral
• ∫ sec (x) dx = ∫ (secante de x + tan (x) seg (x) + tan (x))] dx = ∫ [seg (x) ^ 2 + (secante de x + tan (x ) seg (x) + tan (x)]] dx = ∫ [(seg (x) tan (x) + seg (x) ^ 2 seg (x) + tan (x)]] dx
• Agora, deixe que você seja igual a: sec (x) + tan (x), a função no denominador desta integral. Tomando a derivada de ambos os lados desta equação substituída produz os diferenciais: du = [sec (x) tan (x) + sec (x) ^ 2] dx. Já a derivada secx é sec (x) tan (x) enquanto a derivada de tan (x) é sec (x) ^ 2). Nossa integral mudou para
• ∫ [seg (x) tan (x) + seg (x) ^ 2 seg (x) + tan (x)] dx = ∫ duu = ∫ (1u) du
• A integral de 1u é ln (u) + c. Isso faz com que a substituição reversa nos dê ln (u) + c = ln [seg (x) + tan (x)] + c
• Método 2 : este método não é tão intuitivo quanto o método explicado anteriormente, mas ainda pode alterar a integral de secx em algo com uma antiderivada identificável. O primeiro passo é reescrever a integral como: ∫ secante de x dx = ∫ 1 / cos (x) dx. Em seguida, faça a substituição: u = sin (x) que, por sua vez, produz uma nova equação; cos (x) = sqrt [1 - sen (x) ^ 2] = sqrt (1 - u ^ 2)
• Outra nova equação é: x = arcsin (u) e dx = 1sqrt (1 - u ^ 2) du
• Agora nossa integral se transformará no seguinte: ∫ 1 / cos (x) dx = ∫ 1sqrt (1 - ^ u 2) * [1sqrt (1 - ^ u 2)] du = ∫ 1 (1 - ^ u 2) du = ∫ [1 (1 -)) [1 (1 - u)] du

A técnica de frações parciais permite expressar o produto de duas frações como uma soma. O uso desta estratégia para o integrando nos dá:

• [1 / (1-u)] * [1 / (1 + u)] = 0,5 / (1-u) + 0,5 / (1 + u)
• Agora, a integral u é; 0.5 * ∫ 1 / (1-u) du + 0.5 * ∫ 1 (1+ u) du = -0.5 * Ln (1-u) + 0.5 * Ln (1 + u) + c
• Fazendo a substituição reversa, obteremos: -0.5 * Ln [1 - sen (x)] + 0.5 * Ln [1 + sen (x)] + c:
• Esta função é equivalente àquela obtida pelo Método 1, conforme será mostrado na próxima seção

Equando várias formas de integral de secx

Para ver que as funções ln [seg (x) + tan (x)] e -0,5 * ln [1 - sen (x)] + 0,5 * ln [1 + sin (x)] são iguais entre si , nós reescrevemos a segunda equação na sua forma idêntica 0.5 * ln [(1 + sin (x) (1 sin + (x)]

Agora nós o produto da equação abaixo: 1 = (1 - sin (x) (1 - sin (x)) que dá: 0.5 * ln [(1 - sin (x) ^ 2) (1 - sin (x) ^ 2 /] = 0.5 * ln [cos (x) ^ 2 (1 - sen (x) ^ 2] = 0.5 * ln {[[cos (x) (1 - sen (x)] ^ 2} = 2 * 0.5 * ln [cos (x) (1 - sen (x)] = ln [cos (x) (1 - sen (x)]. Com a ajuda da propriedade logarítmica, temos: ln [cos (x ) (1 - sen (x) = -ln [(1 - sen (x) cos (x)]] = -ln [1cos (x) - sen (x) cos (x)] = -ln [secante de x - tan (x)]

Em seguida, usamos a identidade trigonométrica:

• 1 + tan (x) ^ 2 = sec (x) ^ 2
• > seg (x) ^ 2 - tan (x) ^ 2 = 1
• [seg (x) + tan (x)] * [seg (x) - tan (x)] = 1
• seg (x) + tan (x) = 1 seg (x) - tan (x)]

Isso mostra que as expressões secante de x + tan (x) e sec (x) - tan (x) são recíprocas entre si. Por fim, podemos usar isso para obter:

• -ln [seg (x) - tan (x)] = -ln [1sec (x) + tan (x)]] = ln [seg (x) + tan (x)]

Derivada de secante e secante para curva

Derivado de secante:

dx (seg x) = seg x. tan x ddx (seg x) = ddx 1cos x = (cos x) (1) - (cos x) (cos x) ∧2) = 0 + sin x cos∧2 x = 1cos x. sin x cos x = seg x. tan x

Para encontrar a antiderivada de qualquer função, teremos que determinar a integral indefinida da função, ou seja:

• Int f (x) dx = Int sec x dx
• O próximo é substituir a expressão da função: f (x) = secx por f (x) = 1 / cos x
• Escreva a integral: Int dx / cos x = Int cos xdx / (cos x) ^ 2
• Usando a fórmula fundamental de trigonometria: (cos x) ^ 2 = 1 - (sin x) ^ 2
• Int cos xdx / (cos x) ^ 2 = Int cos xdx / [1 - (sin x) ^ 2]
• Você percebe que: sin x = t
• cos x * dx = dt
• Reescrevendo a integral de secx em t: Int cos xdx / [1 - (sen x) ^ 2] = Int dt / (1 - t ^ 2)
• Analise a integral: 1 / (1 - t ^ 2) = 1 / (1-t) (1 + t)
• Em seguida, separe a integral de secx em uma fração parcial como abaixo
• 1 = A (1 + t) + B (1-t)
• 1 = A + em + B - Bt
• Factorizando a equação acima; 1 = t (A-B) + A + B
• O coeficiente de t do lado esquerdo tem que ser igual ao coeficiente de t no lado direito da equação: A-B = 0 A = B A + B = 1 2B = 1 B = A = 1/2 1 (1-t) (1 + t) = 12 (1-t) + 12 (1 + t) Em t dt (1-t) (1 + t) = Em t dt2 (1 + t) + Em t dt2 (1 + t) Intdt / (1-t) (1 + t) = (12) ln | 1-t | + (12) ln | 1 + t | + C

Um secante para uma curva A é uma linha reta que corta uma curva. Portanto, olhe para a linha secante que corta a curva nos pontos P e Q. Então a inclinação desse secante é dada abaixo:

• ΔyΔx = y2-y1 / x2-x2

Usando um triângulo, é possível explicar como secante de x pode ser derivado. A secante dos ângulos em um triângulo de ângulo reto, por exemplo, é o comprimento de sua hipotenusa dividido pelo seu comprimento adjacente em ambos os lados. De todas as funções trigonométricas disponíveis conhecidas no cálculo, tais como: secante, cossecante, etc. sin, cos e tan são as funções trigonométricas mais amplamente utilizadas. Secant, cosecant e todos os outros são raramente usados

Para cada função trigonométrica, existe a função inversa que funciona na forma inversa. Essas funções inversas ou reversas têm nome semelhante, mas com um arco escrito na frente delas. Sabe-se, portanto, que a função inversa de secante de x é arcsec x. poucos exemplos para dar uma compreensão clara do que temos falado:

• Sec 60 = 2.000. Isso também significa secante de 600 dá 2.000
• Além disso, o Arcsec 2.0 = 60. Isso pode ser expresso como o reverso do primeiro exemplo. Então, isso significa que o ângulo com 2.0 como seu secante é de 600