Formulação da Equação de Dirac, suas soluções e interpretações

A Professora Maria Inez Rodrigues Miguel por seu auxílio fundamental na parte de Álgebra Linear. A todos meus colegas do curso. As todas as pessoas que estiveram comigo nesses anos todos. Aos meus amigos. A todos que me incentivaram, acreditaram e ajudaram neste trabalho, a minha amiga Ângela que me ajudou na formatação do texto. Núcleo. Imagem. Vetores e Valores Próprios. Traço de uma Matriz. Escalonamento de sistemas lineares. O pacote de ondas-piloto. representação P. Estrutura da função de onda do espaço. Os auto-valores de R e P. O Problema de auto valor. A Velocidade da Luz. A transformada de Lorentz. Quadri vetores. Campos Escalares e Tensores. Capítulo 6 - A equação de KLEIN-GORDON. Referência Bibliográfica. Introdução A mecânica quântica que estudamos na graduação é a não relativística, porém, a mecânica quântica relativística é de extrema importância para todo o desenvolvimento da física de partícula, ao longo do século XX.

Temos como conseqüência a descoberta da antimatéria, do mar Dirac, da eletrodinâmica quântica, da cromo dinâmica quântica e da física nuclear de altas energias. Para isso fazemos uma introdução ao estudo da mecânica quântica relativística com a finalidade de uma compreensão de todo esse desenvolvimento da física do século XX. Capitulo 1 – Formalismo da mecânica analítica clássica 1. Nosso sistema, atendendo estes dois requisitos, pode utilizar o hamiltoniano para obter as equações do movimento, as equações de Hamilton. No sistema conservativo holônamo e escleronômo. Escleronômo é quando o tempo aparece implicitamente na equação de vinculo. ∑ ∑ ̇ ∑ ̇ ∑ ̇ ̇ ̇ ∑ ( ̇ Sendo: ̇ ̇ ∑ ̇ Também podemos escrever ∑ Comparando as equações ( ∑ ̇ (1. como: ∑ (1. Subespaços vetoriais Um subespaço vetorial ( ) é um subconjunto de um espaço vetorial sobre um corpo , em relação ao qual valem as seguintes propriedades: 2.

Transformações lineares Dados , espaços vetoriais sobre um mesmo corpo transformação linear ( ) de ( ) em , à função de em , denominamos ( ), satisfazendo as seguintes condições: ( ) ( ( No caso particular em que ) ) ( ) ( ) ( ) , a transformação linear também é denominado operador linear de. Em relação às transformações lineares, há dois subespaços vetoriais importantes, definidos no que se segue. Núcleo Dada uma transformação linear ( ) de indicamos em , denominamos núcleo de ( ), o conjunto de todos os vetores do Domínio de é o vetor nulo do Contra domínio de subespaço vetorial de , ( ), cuja imagem ( ). Demonstra-se que o ( ) é um ( ) da seguinte (domínio de ). Assim, sendo: ( (em que ) ( ) ( ) é o conjunto das matrizes quadradas de ordem n sobre o corpo dos números reais), temos que: ( ) ∑ 20 Uma propriedade em relação ao traço de uma matriz nos interessa ( ), então: apresentar: sendo ( ) ( ) ( ).

De fato, sendo: ( )e ( ), Então: ( ) Dessa forma, temos que: ( ( ) ∑ ( ) ∑ ) ) ∑( De onde se tem que: ( ) ∑( ) ∑( ) ∑( ) ( ) ( ) Outro aspecto importante a considerar em nosso estudo é a resolução de sistemas lineares. No que se segue, apresentamos uma técnica de resolução de sistemas lineares, fundamentada no Método de Cramer. Essa técnica nos auxilia a construir as matrizes de Pauli. Escalonamento de sistemas lineares Para introduzir este método, utilizamos exemplos para os seguintes casos: a) um sistema linear homogêneo, possível e determinado; b) um sistema não homogêneo; c) um sistema com uma variável livre (discutir); d) um sistema linear homogêneo. X Y z T 3 4 5 1 0 -1 -2 -4 0 -2 -1 -5 0 -1 -8 2 0 O sistema linear correspondente à representação anterior é equivalente ao sistema linear inicial, isto é, os dois têm as mesmas soluções.

O próximo passo é repetir todo o processo a partir da segunda linha, como representado a seguir. X y z T 3 6 2 -1 0 -1 -2 -4 0 -2 -1 -5 0 -1 -8 2 0 Em qualquer momento podemos simplificar os cálculos, dividindo uma linha por qualquer constante não nula. No caso, podemos dividir as linhas dois e três do sistema por ( ), obtendo: 26 X y z T 3 4 5 1 0 1 2 4 0 2 1 5 0 1 8 2 0 Para obter o sistema equivalente realizamos o processo anterior deixando a primeira linha intacta, ou seja, realizamos o mesmo processo com as linhas dois, três e quatro. X Y Z T 3 4 5 1 0 1 2 4 0 2 1 5 0 1 8 2 0 Fixando a segunda linha e considerando a terceira linha, para determinar uma "nova" terceira linha, obtemos: 1 2 2 1 1 2 4 0 2 1 5 0 27 1 4 2 5 1 0 2 0 Desse modo temos a segunda e terceira linha do sistema escalonado: X Y Z T 3 4 5 1 0 1 2 4 0 -3 -3 0 O qual pode reescrever como: X Y Z T 3 4 5 1 0 1 2 4 0 3 3 0 28 Agora retomando o sistema da pagina anterior; fixamos a segunda linha e considerando a quarta linha para determinar uma "nova" quarta linha obtém: 1 2 4 0 -1 -8 2 0 Note que nesse casso; a quarta linha é a terceira multiplicada por -2 X Y Z T 3 4 5 1 0 1 2 4 0 3 3 0 6 6 0 Com isso podemos abandonar a quarta e a última linha, tendo o sistema escalonado: X Y Z T 3 4 5 1 0 1 2 4 0 3 3 0 O sistema correspondente será: { 29 Esse sistema tem as mesmas soluções que o inicial, com a facilidade de que as soluções são obtidas, considerando-se, inicialmente, a última linha obtido o valor de t, substituímos na equação anterior, obtendo o valor de z; na seqüência substituímos os valores de z e t na equação anterior, obtendo o valor de y; finalmente, substituímos os valores de t, z e y na primeira equação, obtendo o valor de x.

Agora consideremos uma função ( ) oqual não é necessariamente periódica. Definimos ( ) sendo periódica de período , com a função ( ) tendo a mesma imagem no intervalo [ Podemos expandir ( ) ∑ ⁄ ⁄ ]. em séries de Fourrier: ( ) [ ∫ ] (3. Chamando de: ( ) O limite torna ∑ ∫ ( ) uma variável contínua de modo: ∑ Onde é uma constante: ( ) ∫ ( ) (3. Pela notação do texto, a transformada de Fourier tem ( ) ( ) √ logo: 34 ( ) ( ) ∫ √ 3. Já vimos que para o intervalo [– ], os coeficientes podem ser escritos como: ( ) ∫ ∫ ( ( ) ) ( (3. ∫ ( ) ∑ ( ) ∫ ∑ ( ) ∫ ou melhor: ( ) ∫– ( ) ∑ ∫ ( ) ( se aproxime do infinito ( Agora deixamos que o parâmetro ) (3. Então temos: ( ) ∑ ∫ ( ) ( ) – ( ) ∫ ∫– ( ) ( ) (3. A integral de Fourier está sujeita às condições:  Continua parte por parte;  Diferencial parte por parte; Absolutamente integrável ∫– | ( )| é finita da forma trigonométrica, podemos obter: ( ) ∫ ( ) ∫– (3. Derivada da função Delta de Dirac: ( ) ( ∫– Em que ( ) (3. A hipótese de De Broglie Após os trabalhos de Max Planck (1900), sobre a radiação do corpo negro, onde foi introduzida a constante.

Einstein (1905) utilizou a mesma constante para explicar o efeito fotoelétrico, e Arthur Compton (1922), mostrou experimentalmente que mesmo fóton sem massa de repouso havia momento linear, o qual era previsto pela expressão da energia total relativística. Foi com essas series de elaborações teóricas e comprovações, que Louis de Broglie (1924) considerou que assim um conjunto de fótons de energia E; corresponde a uma onda eletromagnética de freqüência (4. poderíamos expressar a matéria em termos ondulatórios. Com essas hipóteses de Broglie postulou que ⃗ ⃗⃗ (4. Estrutura da função de onda do espaço a) como um vetor de espaço. Quando [ temos uma função ] podemos escrever de onda, ( ) pertence o ( ) ( ) como: com ( ) b) O produto escalar com cada par de elementos de , um número complexo pela operação ( , ) ( ) ∫ ( ) Propriedades do produto escalar: 1) ( ) ∫ ( ) ( 2) ( ) ∫ ( ( ) ) ) ( (∫ ) ( ) ) ( ∫ ( ) ∫ ) qual ∫ ( ) ( ) e ( ) nos associamos 44 3) ( ) ( ) ( ) ( 4) ( ) ∫ ) ( ) ) ( ) ) ( ) ,( ) ( )- ( )- : ( 5) ( ,( ) ∫ ( ) ( ) ( ( ( ) ( )- ) ( ) ) ( ) ) , ∫ ( ) ∫| | c) Bases discretas ortonormalizadas em.

Definição Considere uma função de linear das bases ( ) , a qual pode ser escrita como uma combinação com [1=1,2,3. n] 45 ( ) ( ) ( ) ( ) Estas bases sendo ortogonais: ( ( )) ( ) ) ∑ ( ) ( ) ( ) com ( )) ( ) ( ) ∑ ( ) ( { ( )) ( ) ( ( ) ( ) ( ) ∑ (∑ ( )) ∑ ( ) ( )) ∑ Em particular: ( ( ) ( )) ∑ d) Relação de fechamento A relação ∫ 1) é conhecida como relação de ortogonalidade. Os auto-valores de R e P Considerando o operador X; definimos a equações de autovetor e valor | | | | 〉: | 〉: | 〉: ( ( ( ) ) ) Estado do espaço: ( ( ( ) ) ) | 〉 | 〉 | 〉 | 〉 | 〉 ( ( ) ) 4. A posição de um ponto de duas coordenadas em um espaço bidimensional é determinada por dois parâmetros função das coordenadas ( ( O ponto também pode ser escrito em. Como a integral da superfície é invariante: ∫ ∫ ∑ ∫ ∫ ∑ ∫ ∫ ∑ ( ( ) ) ∑ ( ( ∫ ∫ ∑ ) ) ∑ ( ( ( ) ) ( ) ) Agora vamos passar colchetes de Poisson para um operador qualquer brackets, de considerar a transformação uma função qualquer ( ) , para isso consideramos o qual ̇ ̇ (4. Para o nosso cálculo iremos primeiro calcular: ( Supondo que ) ( é analítica: ( ) ) 51 (∑ ∑ ( ) ) ( ) ( Logo: ∑ ∑ ( ) ( ( ) ) ( ) Sendo: ( ⌊ ) ∑ ( ) ( ) ∑ ( ) ( ) ∑* ( ) ( ) + ∑* ( ) ( ) + ⌋ ) 52 ∑ ∑ ∑[ ( ( ) ( ( ) ) ∑ ( )( ( ) ) ( ) ( ) ( ) (∑ ∑ ( ∑[ ( ) ] )( ∑ ] )| ] ) ( ) | ( ( ) )| | Como na primeira determinante temos filas paralelas iguais logo: 53 ( )( ) ( ) ( ) Temos: ∑( ) ∑( ) Logo: * + , -( ) Portanto, mostramos através da integral de superfície a equivalência entre os colchetes de Poisson e brakets.

Transformação de unidades Um operador operador qualquer é uma equação de autovetor autovalor. Portanto um tem seus coeficientes como: ∫ ( ) Como podemos ter inúmeras bases que podem formar a matriz deste operador, podemos escrever o mesmo operador por outra base. b. Buscando o auto valor e o autovetor de um operador com bases discretas ortonormalizadas; nós podemos reescrever a relação acima: ⟨ | | ⟩ ⟨ | | ⟩⟨ | ⟩ ⟨ | ⟩ ⟨ | ⟩ A qual pode escrever como: ∑⟨ | | ⟩⟨ | ⟩ ∑⟨ | | ⟩⟨ | ⟩ ∑⟨ | ⟩ ∑⟨ | ⟩ ( ) 58 Da equação (2); obtêm-se um sistema homogêneo o qual det , - ; ou seja, há outras soluções além da trivial. Observáveis a. Se um operador é Hermitiano: 1. Os autovalores do operador Hermitiano são reais; 3. Podemos citar um exemplo quando colocamos uma carga elétrica geradora de campo em contato com uma carga de prova, esta mesma carga de prova demorará certo tempo para ser posta 60 em aceleração, devido à velocidade de propagação do campo, esta velocidade é bastante alta, , as transformações de Galileu são úteis na maioria dos casos, mas como a velocidade da luz no vácuo é uma constante física e de valor finito, devemos trabalhar com um conjunto diferente de equações, as quais levam isto em conta.

A transformada de Lorentz Devido a velocidade da luz ser uma constante e finita, devemos buscar um conjunto de equações diferentes das transformações de Galileu para que possamos realizar mudanças de referenciais. Neste contexto, imaginemos um ponto em nosso sistema O e referencial O, onde a posição deste ponto seja dada como P=(x,y,z,t) e a distância ( do nosso sistema a este ponto, op, e dada por: (( ) ( ) ) da origem ( ) ( ) Agora introduzimos outro sistema de coordenadas, O’, movendo-se com velocidade v (constante) na direção Ox definimos, portanto: P´=(x´,y´,z´,t´) e (( ) ( ) ( ) ( ) Como a velocidade da luz deve ser conservada em ambos os referenciais temos que : ser a mesma, então (( ) e ( ) ) e a distância deste ponto deve (( ) ( ) ) sendo que não necessariamente: t´=t e x´=x Vamos considerar que as mudanças dos referencias sejam dadas pela relação: e ( ) 61 Considerando que o sistema no início teria sua posição x´=0 então: ( ) ( ) Com: tg =.

fato Como estamos trabalhando com tensores, afirmaremos que que ficará mais claro adiante, tendo isto em mente temos que: √ e √. Logo: √ √. Introduziremos agora o operador nabla quadrimensional: covariante. Seja ( ) ( ) ( funções escalares: ) ( )) ( ) ̅ / que tensor 65 Ou: ( ) ( )) ( Tomando, portanto o produto escalar Os conjuntos de segunda derivadas ) ̅ parciais e possuem comportamento de tensores onde o primeiro é tensor covariante e o segundo contra variante. Capítulo 6 - A equação de KLEIN-GORDON A equação de Dirac é adequada para as partículas de Spin semi-inteiro, enquanto a de Klein-Gordon é para spin inteiro. Podemos obter a equação de Klein Godon realizando o produto tensorial: ( ) ( ) Como a equação (1) segue a lei do produto tensorial do tensor (x,y,z,ct) temos que a equação (1) é invariante por transformadas de Lorentz. Para obter a soluções de uma partícula livre em Klein Gordon, vamos imaginar o caso para a partícula livre.

Fórmula: ( ) No formalismo da mecânica quântica o operador hamiltoniano do sistema H é ; ( ) Para partícula livre o Hamiltoniano fica escrito como, Fórmula: ( ) Agora realizamos uma analogia a mecânica clássica. O Hamiltoniano de um sistema relativístico é escrito como, 72 Fórmula: √ ( ) O primeiro problema encontrado por Dirac é como escrever este Hamiltoniano do sistema na forma de operador devido à raiz quadrada. Para contornar este problema ele realizou um procedimento análogo à equação de Klein Gordon, tomando H², mas neste caso introduziremos certos coeficientes os quais fazem este papel: ( ) A equação acima apresenta as seguintes características; podemos agora resolvê-las, aplicar as transformadas de Lorentz, mas o termo não é condizente com a teoria da mecânica quântica, pois este termo deixa de ser operador linear, portanto, devemos buscar uma equação de onda equivalente a equação ( ) que seja.

Em primeiro lugar buscaremos uma equação que seja linear, a qual possibilite as transformadas de Lorentz e possamos estabelecer um paralelo entre o caso clássico. Para isto vamos impor que ela seja análoga a equação ( ), com tal objetivo, multiplicou os operadores por seguintes coeficientes: ( Onde os coeficientes ) são independentes dos momentos e da energia, observação o coeficiente Para estabelecermos quais são estes coeficientes, juntamente estabelecer qual é a sua ligação com a equação (5); multiplicaremos a equação (6) por: 73 ( ) De modo que obtemos: ( ) 0( ) ( ) ( ) 1( ) Para que a equação (6. e ( ) { Agora vamos escalonar, mas primeiro vamos trabalhar com menos termos no escalonamento fazemos e caso não obtivermos todas as matrizes vamos ver o sistemadepois Para realizar o escalonamento descrito anteriormente, primeiro reorganizamos as equações: { 76 Obtendo este sistema escalonado: { Analisando as soluções, vemos que só temos duas possibilidades de solução.

Primeira solução i=1: {. Segunda solução i=2: { Terceira solução i=3. Como temos quatro matrizes resolvendo o mesmo sistema para encontraremos que é a matriz faltante,. Este sistema escalonado é: { Dentre o conjunto de soluções possíveis, podemos escrever esta matriz semelhante às duas outras matrizes para isso escolhemos com. Nós utilizaremos este caso especial para extrair as informações sobre o sistema, e logo após estenderemos para outros casos. A equação de Dirac que sem amplicação do potencial é: 83 ,(⃗⃗ ⃗) - No caso estudaremos ⃗ ( ) : ( ) Onde: [ ] ( ) Logo: [ ] 0 1[ ] +[ ] ( ) Sendo: 0 1 * + Portanto: 0 1[ ] * [ ] ( ) 84 Portanto: [ ] [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Resolveremos as equações (7. e (7. pois a equação (7. é análoga equação (7. ⃗⃗ ⃗/ ⃗/ 1 1 ( ) ( ) 87 Para extrairmos as informações de um sistema deste tipo. Usaremos o teorema Ehrenfest: ⃗ [ ̂ ̂] ⃗⃗ [ ̂ ̂] Então temos o seguinte: ⃗ ⃗ [ ̂ ̂] ⃗/ 0. ⃗⃗ ( ̂ /1 ) Lembrando que: [ ̂ ̂] , ( ) ̂- ( ) então: Como ⃗ ⃗ ,⃗ ̂ -.

⃗⃗ ⃗/ ⃗ ̂1 ⃗ 0⃗⃗ ( ) Sendo ̂ um operador hermitiano, ou seja, pode ser diagonizavel: ,⃗ ̂- [⃗ ̂] ⃗ ⃗( ) 88 Logo temos: ⃗ Sendo ⃗ ⃗[⃗⃗ ̂] ⃗ ( ⃗ ) ⃗ tal qual operador de como o efeito físico, uma velocidade c para explicar este tal resultado levamos em conta o fato de que este operador “velocidade” é aplicado em uma função de onda, podendo assim imaginar um equivalente clássico possível é de que a partícula realiza um movimento em zig-zag mesmo para uma partícula livre, portanto, chamamos este operador de Zitterbewegung (movimento de zig-zag). Este nome vem da analogia com o caso clássico, como este operador “velocidade” possui como resposta uma função de onda, podemos imaginar o equivalente clássico, seria que a partícula realiza a seguinte trajetória, mesmo para a partícula livre: Para analisarmos como são os autovalores deste operador tomemos uma partícula movendo-se no eixo x: ⃗ ⃗ ⃗ ( (⃗ ) (⃗ ) ) ( ( ) ) 89 ⃗ ( ) | ( ) | | ⃗ ⃗ ⃗ ( | ( ( ⃗ ) | ⃗ | | ( )) ( ) ) ( )( ) sem spin Logo para a partícula Temos que: ̂ ̂ | ⃗ | ⃗ ) ) ( ( | ⃗ | | ) =( ( ) ( ) 90 Relações dos espinores e o limite não relativístico.

Dirac afirma que: Os elétrons desse mar não contribuem para a carga elétrica, o spin e o momentum. Desse modo, um desses elétrons, de carga absorver um fóton com energia e momentum ⃗⃗⃗⃗ pode e tornar-se um estado de energia positiva, e, como resultado, um buraco será criado nesse mar. Portanto, o buraco se comporta como uma partícula de carga e momentum ⃗⃗⃗⃗. Até 1934, a equação de Dirac era considerada a única equação relativística aceita. Esse elétron de carga positiva, o pósitron, previsto pela teoria de Dirac, foi confirmado experimentalmente por Anderson, e a criação do par elétron-pósitron foi medida por Blackett e Occhialini. Retomando: , ( ( ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ ) ) ( ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ ) ( ) ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ ( ( ( ) ) ) Com estas observações buscaremos a estrutura da solução para a equação de Dirac, e estenderemos para o limite não relativístico: ⃗⃗ [ ] ⃗ 96 Onde: ( ⃗⃗ [ ] ⃗ ⃗⃗ [ ] ⃗ ⁄ ) ( ⃗⃗ * ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ [ ] ⃗ ⁄ ) 0 1 ( 0 1 ) ⃗⃗ [ ] ⃗ [ ⃗⃗ ]+ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ Como: ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ ( ) O elétron num campo eletromagnético no limite não relativístico: [( ⃗ ⃗⃗ ) ( ] ) Como: [( ⃗ ⃗⃗ ) ( ] ) Sendo agora: ( ) [( ⃗ ⃗⃗ ) ] ( ) 97 Como é escrito na forma dos espinores a equação acima pode ser decomposta em: ( ) [ ⃗ ⃗⃗ ] ( ) [ ⃗ ⃗⃗ ] Então analogamente ao texto anterior escreveremos um dos espinores em função do outro: ⃗⃗ ⃗⃗⃗ = ( ) Como Ficamos com: = ⃗⃗ ⃗⃗⃗ ( ) Agora colocando esta equação em : ( [ ⃗ ⃗⃗ ) ] Obtemos: (.

⃗ ⃗⃗ / ) ( ) 98 Realizando uma comparação com a dedução não relativística para o caso do elétron: (. ⃗ ⃗⃗ / ) Observe que:. ⃗⃗ / ⃗⃗ ⃗⃗⃗ / Portanto: (. ⃗⃗ / ⃗⃗ ⃗⃗⃗ ( ) ) Que é a equação não relativística de Pauli. Assim: ⃗⃗ Pois: ⃗⃗ ⃗⃗ ( ) 100 Como sabemos: ( ( ) ) ( ) * + * + Logo, ⃗⃗⃗⃗ é um pseudoescalar ou axial escalar. A matriz define quatro das dezesseis matrizes. Assim: ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ Isso significa que ⃗⃗⃗⃗ 4. A matriz ( ⃗⃗ ( ) ) é um vetor. define quatro das dezesseis matrizes. ⃗⃗ ⃗⃗ ) Na equação (2), se ( ) ⃗⃗ a corrente axial vetor também será conservada. É útil formar combinações lineares de corrente vetorial e de axial vetor, levando as combinações do tipo (V-A) e (V+A): ⃗⃗ Quando. essas correntes anteriores serão a densidade de corrente elétrica de partículas de mão esquerda e de mão direita, respectivamente. Cada uma dessas correntes é conservada separadamente. As duas correntes são correntes de Noether, correspondentes às seguintes transformações: ( ) ( ) ( ) ( ) 103 A primeira transformação corresponde a uma simetria da lagrangeana do sistema, a segunda transformação corresponde a uma transformação quiral, é uma simetria do termo de derivada na lagrangeana, mas não do termo de massa.

A. M. The Principles of Quantum Mechanics, 4a. edition, Oxford Science Pub. EINSTEIN,A. BJORKEN,James D e D. DRELL, Sindey. Relativistc Quantum Mechanics ,1964.