História da matemática, apolônio e a elipse

Tipo de documento:Relatório

Área de estudo:Gastronomia

Documento 1

C. foi um matemático e astrônomo grego da escola de Alexandria, conhecido como "O Grande Geômetra" e considerado como um dos mais originais matemáticos gregos no campo da geometria pura. Sua obra foi vasta e muito foi perdido, entre suas obras temos o Tratado universal, onde ele examinava de maneira crítica os fundamentos da matemática. As Cônicas é um tratado composto por oito livros, dos quais sete sobreviveram, e 400 proposições, essa é a obra principal de Apolônio. As seções cônicas já eram conhecidas há mais de um século quando essa obra foi escrita, porém, a obra suplantou as demais obras desse campo, incluindo As cônicas do próprio Euclides. No livro 5, Apolônio faz o estudo de tangentes e normais de uma curva e mostra, por procedimentos sintéticos, como se consegue obter as evolutas das cônicas.

Para isso, determina o número de normais distintas de cada ponto, cuja a equação para a normal da elipse é (𝑎𝑥)2/3 + (𝑏𝑦)2/3 = (𝑎2 + 𝑏 2 )2/3 Também mostrou que os pontos médios de um conjunto de cordas paralelas a um diâmetro de uma elipse ou hipérbole formam um segundo diâmetro (diâmetros conjugados). A partir disso mostrou que se uma reta é traçada por uma extremidade de um diâmetro de uma elipse ou hipérbole paralelamente ao conjugado, a reta tocará a cônica e mais nenhuma reta pode cair entre ela e a cônica, ou seja, a reta é tangente a cônica. Agora vamos obter a moderna equação da elipse: Seja um cone oblíquo ABC com base BGC. Seja P um porto qualquer na secção inclinada ELR cujo corte no cone reto AFC de base circular BFC define uma elipse.

𝑀𝑇 = 𝑃𝑀², pois o plano PDT determina um círculo no cone, então: 𝑃𝑀² = 𝐸𝑀. A partir disso, sendo ERQO o retângulo característico da elipse, então geometricamente a área do quadrado de lado PM é igual à área do retângulo de lados EM e EO, ou seja, é igual a área do retângulo característico “menos alguma coisa”, sendo esse o motivo de Apolônio escolher nomear a elipse (a elipse era, anteriormente definida por Pitágoras, usado para áreas sendo a elipse definida como algo menos, ou menos alguma coisa). Então seguimos com a demonstração: Como 𝐸𝑂 = 𝐸𝐻 − 𝐻𝑂 então 𝑃𝑀² = 𝐸𝑀. Dos triângulos XHZ e REH temos a semelhança Mas, 𝐻𝑍 = 𝐸𝑀 e 𝑋𝑍 = 𝐻𝑂 então 𝐸𝑀 𝐻𝑂 = 𝑅𝐸 𝐸𝐻 𝐻𝑍 𝑋𝑍 = 𝑅𝐸 𝐸𝐻 → 𝐻𝑂 = Substituindo em (4), temos: 𝑃𝑀² = 𝐸𝑀. Apolônio deduziu então a equação da elipse. br/enem2016/anais/pdf/5062_3970_ID.

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